% maak de .pdf file met ./mk
\parindent0pt
\parskip1ex
\input pstricks
\input fp
\FPmessagesfalse
\input vec2d

{\bf Eigenschappen van het inproduct}

Gegeven zijn de vectoren $\vec a$, $\vec b$, $\vec c$, $\vec d$. Door de vectoren $\vec a$ en $\vec b$
90 graden linksom te draaien, krijgen we de vectoren $\vec a_L$ en $\vec
b_L$.

Toon aan dat:

1. $(\vec a + \vec b)\cdot(\vec c + \vec d) = \vec a \cdot \vec c + \vec a \cdot \vec d + \vec b \cdot \vec c + \vec b \cdot \vec d$

2. $\vec a \cdot \vec b = \vec b \cdot \vec a$

3. $\vec a \cdot \vec a_L = 0$

4. $\vec a \cdot \vec a = |\vec a|^2$

5. $\vec a \cdot \vec b_L = -\vec a_L \cdot \vec b$

6. $\vec a \cdot \vec b = \vec a_L \cdot \vec b_L$

Merk op dat uit eigenschap 1 volgt dat je bij het inproduct haakjes kunt uitwerken op de gebruikelijke manier (papepgaaien).

\vskip .5cm

{\bf Opgave}

\VDDstart
  \VDDdef O(0,0)X(1,0)Y(0,1)
  \VDDdeflinepoint y:OY
  \VDDdeflinepoint x:OX
  \VDDdef A(3,-1.6)P(1.2,-4)Q(2.5,-.9)
  \VDDcrotatequarter G:A
  \VDDctranslate D:A:OG
  \VDDctranslate B:D:OP
  \VDDcrotatequarter P':P
  \VDDctranslate EH:BD:OP'
  \VDDctranslate C:E:OQ
  \VDDcrotatequarter Q':Q
  \VDDctranslate IF:EC:OQ'
  \VDDcavg M:GI
  \VDDdcanvas1:1
    \VDDcppintersect S:AC:MB
    \VDDdlinepartequal GMMI
    \VDDdwholeline xy
    \VDDdline GI
    \VDDdeflinepoint l:MB
    \VDDdeflinepoint k:GI
    \VDDdeflinepoint m:AC
    \VDDdeflinepoint p:DB
    \VDDdeflinepoint q:OA
    \VDDdeflinepoint r:CF
    \VDDdwholeline lm
    \VDDdpsvec OP:linewidth=1pt,arrowlength=3
    \VDDllinepart OP:$\vec p$
    \VDDdpsvec OQ:linewidth=1pt,arrowlength=3
    \VDDllinepart QO:$\vec q$
    \VDDdpsvec OADBECF:linewidth=1pt,arrowlength=3
    \VDDdpsline FIEHDGO:
    \VDDllinepart OA:$\vec a$
    \VDDllinepart AD:$\vec a_L$
    \VDDllinepart DB:$\vec p$
    \VDDllinepart BE:$\vec p_L$
    \VDDllinepart CE:$\vec q$
    \VDDllinepart CF:$\vec q_L$
    \VDDllinelinepointletter xy:OF:1:1
    \VDDllinelinepointletter kl:MF:1:1
    \VDDllinelinepointletter ml:SF:-1:-1
    \VDDllinelinepointletter lp:BF:1:1
    \VDDllinelinepointletter mq:AF:1:1
    \VDDllineedgeletter l:F:-1:1
    \VDDllineedgeletter m:F:1:1
    \VDDllineedgeletter x:F:1:1
    \VDDllineedgeletter y:F:-1:1
    \VDDlpointletter BECFIG
    \VDDlpointletter EHDGO
    \VDDlcirclepointletter Q:O:1
    \VDDlcirclepointletter P:O:1
  \VDDdcanvasend
\VDDend

Gegeven zijn de vectoren $\vec a$, $\vec p$, $\vec q$. Door deze vectoren 90
graden linksom te draaien, krijgen we de vectoren $\vec a_L$, $\vec p_L$, $\vec
q_L$. Deze zes vectoren noemen we de {\it basisvectoren}. We defini\"eren $\vec
d = \vec a + \vec a_L$, $\vec b = \vec d + \vec p$, $\vec e = \vec b + \vec
p_L$, $\vec c = \vec e + \vec q$ en $\vec f = \vec c + \vec q_L$. Op basis
hiervan maken de de vierkanten $OADG$, $BEHD$ en $CFIE$. Punt $M$ is het midden
van lijnstuk~$GI$. Lijn $l$ gaat door de punten $M$ en $B$ en lijn $m$ gaat
door de punten $A$ en $C$.

In deze opgave gaan we bewijzen dat $l\perp m$ en dat $AC = 2MB$.

Merk op dat $\overrightarrow{AC}$ een richtingsvector is van lijn $m$ en dat
$\overrightarrow{MB}$ een richtingsvector is van lijn $l$. De lengte van een lijnstuk is gelijk aan de lengte van de bijbehorende vector: dus
$AC = |\overrightarrow{AC}|$ en $MB = |\overrightarrow{MB}|$.

We kunnen het gevraagde bewijzen door $\overrightarrow{AC}$ en $\overrightarrow{MB}$ te schrijven in termen van de {\it basisvectoren}.

Toon aan dat $\overrightarrow{AC} = \vec a_L + \vec p + \vec p_L + \vec q$.

Druk $\overrightarrow{MB}$ uit in de {\it basisvectoren}. Maak gebruik van het feit dat $\overrightarrow{GM} = {1 \over 2}\overrightarrow{GI}$.

Maak gebruik van de eigenschappen van het inproduct om te bewijzen dat $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$ en dat $|\overrightarrow{AC}| = 2 |\overrightarrow{MB}|$.

\break

{\bf Uitwerking}

Je kunt van $A$ naar $C$ lopen door de vectoren $\vec a_L$, $\vec p$. $\vec
p_L$ en $\vec q$ te volgen. Dus $\overrightarrow{AC} = \vec a_L + \vec p + \vec
p_L + \vec q$.  Op dezelfde manier volgt dat $\overrightarrow{GI} = \vec a +
\vec p + \vec p_L + \vec q_L$ en dus geldt dat $\overrightarrow{GM} = { 1 \over
2 } \overrightarrow{GI} = { 1 \over 2}(\vec a + \vec p + \vec p_L + \vec q_L)$.
Ook geldt er dat $\overrightarrow{BG} = -\vec p - \vec a$. dus
$\overrightarrow{MB} = -\overrightarrow{GM} - \overrightarrow{BG} = { 1 \over 2}(\vec a + \vec p - \vec p_L - \vec q_L)$.

%We bekijken eerst $( \vec a_L + \vec q ) \cdot ( \vec a - \vec q_L ) = \vec a_L \cdot \vec a - \vec a_L \cdot \vec q_L + \vec q \cdot \vec a - \vec q \cdot \vec q_L = 0$, vanwege\hfil\break
%$\vec a_L \cdot \vec a = 0$ (3, 2), $\vec q \cdot \vec q_L = 0$ (3) en $\vec a_L \cdot \vec q_L = \vec q \cdot \vec a$ (6, 2).

%Ook geldt er\hfil\break$( \vec p + \vec p_L ) \cdot ( \vec p - \vec p_L ) = \vec p \cdot \vec p - \vec p_L \cdot \vec p_L = 0$ ().

%Vanwege (1) hebben we $2 \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{MB} = ( \vec a_L + \vec p + \vec p_L + \vec q ) \cdot ( \vec a + \vec p - \vec p_L - \vec q_L )$\hfil\break
Vanwege (1) hebben we $2 \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{MB} = ( \vec a_L + \vec p + \vec p_L + \vec q ) \cdot ( \vec a + \vec p - \vec p_L - \vec q_L )$\hfil\break
$=\vec a_L\cdot \vec a + \vec a_L\cdot \vec p - \vec a_L\cdot\vec p_L - \vec a_L\cdot\vec q_L + \vec p\cdot \vec a + \vec p\cdot \vec p - \vec p\cdot\vec p_L - \vec p\cdot\vec q_L + \vec p_L\cdot \vec a + \vec p_L\cdot \vec p - \vec p_L\cdot\vec p_L - \vec p_L\cdot\vec q_L + \vec q\cdot \vec a + \vec q\cdot \vec p - \vec q\cdot\vec p_L - \vec q\cdot\vec q_L $

Omdat\hfil\break
$\vec q \cdot \vec q_L = 0$ (3),\hfil\break
$\vec p \cdot \vec p_L = 0$ (3),\hfil\break
$\vec a_L \cdot \vec a = 0$ (3, 2),\hfil\break
$\vec p_L \cdot \vec p = 0$ (3, 2),\hfil\break
$\vec p\cdot \vec q_L = -\vec q\cdot \vec p_L$ (5, 2),\hfil\break
$\vec a_L\cdot \vec p = - \vec p_L\cdot \vec a$ (5, 2),\hfil\break
$\vec a_L \cdot \vec p_L = \vec p \cdot \vec a$ (6, 2),\hfil\break
$\vec a_L \cdot \vec q_L = \vec q \cdot \vec a$ (6, 2),\hfil\break
$\vec p\cdot \vec p = \vec p_L\cdot \vec p_L$ (6) en\hfil\break
$\vec p_L \cdot \vec q_L = \vec q\cdot \vec p$ (6, 2),\hfil\break
valt alles weg en is het antwoord van het inproduct gelijk aan $0$.

Op dezelfde manier verkrijgen we
$|\overrightarrow{AC}|^2 = \overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AC} = (\vec a_L + \vec p + \vec
p_L + \vec q)\cdot(\vec a_L + \vec p + \vec p_L + \vec q)$\hfil\break
$=\vec a_L \cdot \vec a_L + \vec a_L \cdot \vec p + \vec a_L \cdot \vec p_L + \vec a_L\cdot \vec q + \vec p \cdot \vec a_L + \vec p \cdot \vec p + \vec p \cdot \vec p_L + \vec p\cdot \vec q + \vec p_L \cdot \vec a_L + \vec p_L \cdot \vec p + \vec p_L \cdot \vec p_L + \vec p_L\cdot \vec q + \vec q \cdot \vec a_L + \vec q \cdot \vec p + \vec q \cdot \vec p_L + \vec q\cdot \vec q$\hfil\break
$=|\vec a_L|^2 +  2\vec a_L \cdot \vec p + 2\vec a_L \cdot \vec p_L + 2\vec a_L\cdot \vec q + |\vec p|^2 + 2\vec p \cdot \vec p_L + 2\vec p\cdot \vec q + |\vec p_L|^2 + 2\vec p_L\cdot \vec q + |\vec q|^2$ (4, 2)\hfil\break
%$=|\vec a|^2 + 2\vec a_L \cdot \vec p + 2\vec a_L \cdot \vec p_L + 2\vec a_L\cdot \vec q + 2|\vec p|^2 + 2\vec p\cdot \vec q + 2\vec p_L\cdot \vec q + |\vec q|^2$\hfill\break
$=|\vec a|^2 + 2|\vec p|^2 + |\vec q|^2+ 2\vec a_L \cdot \vec p + 2\vec a_L \cdot \vec p_L + 2\vec a_L\cdot \vec q + 2\vec p\cdot \vec q + 2\vec p_L\cdot \vec q$ (6, 3)\hfill\break
%$=|\vec a|^2 + 2|\vec p|^2 + |\vec q|^2+ 2\vec a_L \cdot ( \vec p + \vec p_L ) + 2\vec a_L\cdot \vec q + 2(\vec p + \vec p_L )\cdot \vec q$\hfill\break
%$=|\vec a|^2 + 2|\vec p|^2 + |\vec q|^2+ 2(\vec a_L + q) \cdot ( \vec p + \vec p_L ) + 2\vec a_L\cdot \vec q$\hfil\break
en evenzo\hfil\break
$\overrightarrow{MB}\cdot\overrightarrow{MB} = {1\over 2}(  \vec a + \vec p - \vec p_L - \vec q_L ) \cdot {1 \over 2}( \vec a + \vec p - \vec p_L - \vec q_L )$, dus\hfil\break
$4|\overrightarrow{MB}|^2 = |\vec a|^2 + 2|\vec p|^2 + |\vec q|^2 + 2 \vec a\cdot \vec p - 2\vec a \cdot \vec p_L - 2\vec p \cdot \vec q_L + 2\vec q_L \cdot \vec p_L - 2\vec a\cdot\vec q_L$.

Omdat\hfil\break
$\vec a_L\cdot \vec p = - \vec a\cdot \vec p_L$ (5)\hfil\break
$\vec a_L\cdot \vec p_L = \vec a\cdot \vec p$ (6)\hfil\break
$\vec a_L\cdot \vec q = -\vec a\cdot \vec q_L$ (5)\hfil\break
$\vec p\cdot\vec q = \vec p_L\cdot \vec q_L$ (6)\hfil\break
$\vec p_L\cdot q = -\vec p \cdot \vec q_L$ (5)\hfil\break
hebben we nu $4|\overrightarrow{MB}|^2 = |\overrightarrow{AC}|^2$ dus $2|\overrightarrow{MB}| = |\overrightarrow{AC}|$.


\bye
