\input a4
\nopagenumbers
\input pstricks
\input pst-plot
\input fp
\input vec2d
\def\frac#1#2{{#1 \over #2}}

\VDDdef O(0,0)U'(1,1)V'(-1,1)U(-3,0)V(3,3.2)X(1,0)Y(0,1)
\VDDdeflinepoint x:OX
\VDDdeflinepoint y:OY
\VDDdeflinepoint u:OU'
\VDDdeflinepoint v:OV'
\VDDdcanvas1:1
  \FPset\p{.7}%
  \FPupn\r{0.5 2 p mul p mul 2 add pow}%
  \FPupn\y{2 0.5 p p mul 2 add pow mul}%
  \FPupn\w{0.5 2 p p mul add pow}%
  \FPupn\u{0.5 \w{} \p{} add mul}%
  %\VDDdeflinepoint l:A(2,2.4494897)A'(3,3.265986324)
  %\VDDdeflinepoint l:A(\p{},\w{})A'(3,3.265986324)
  \VDDdcircle M(0,\y{}):\r{}
  \VDDdeflinepoint r:MA(\p{},\w{})
  \VDDcleadline l:r:A
  \VDDdline AA''(\p{},0)
  \VDDllinepointany x:A'':A:1:$p$
  \VDDdline A'''(\u{},\u{})A
  \VDDllinepointany u:A''':A:1:$q$
  \VDDdeflinepoint m:B(-\p{},\w{})B'(-3,3.265986324)
  %\VDDlcircleangleany M:\r:1:$c_1$
  %\VDDdcircle M'(0,1):0.8660254
  \VDDdwholeline xyuv
  \psplot[plotpoints=300]{-6}{6}{x dup mul 2 add sqrt}%
  \VDDllinelinepointletter lr:AM:-1:1
  %\VDDllinepointletter m:B:M:1
  \VDDdline AM
  \VDDllinepart AM:$r$
  %\VDDdpoint B
  \VDDllinepointletter y:M:A:1
  \VDDllineedgeletter x:V:1:1
  \VDDllineedgeletter y:V:-1:1
  \VDDllinelinepointletter xu:OV:1:-1
  \VDDllineedgeletter u:V:1:1
  \VDDllineedgeletter v:V:-1:1
\VDDdcanvasend

Neem aan $p>0$, $q>1$. Co\"ordinaten van punten ten opzichte van de $x$- en $y$-as schrijven we tussen haakjes en co\"ordinaten van punten ten opzichte van de $u$- en $v$-as schrijven we tussen rechte haken. Er geldt
$$\left[\matrix{u\cr v\cr}\right] = \frac12\sqrt2\left[\matrix{x+y\cr x-y}\right]$$
en
$$\left(\matrix{x\cr y\cr}\right) = \frac12\sqrt2\left(\matrix{u-v\cr u+v}\right).$$

De functie $f$ kan ook geschreven worden in beide co\"ordinatenstelsels
$$f(x) = \sqrt{x^2 + 2}$$
en
$$f[u] = \frac1u.$$ 
Er geldt dus $$\vec a = \left(\matrix{p\cr \sqrt{p^2+2}\cr}\right) =
\left[\matrix{q\cr \frac1q\cr}\right].$$

Voor het verband tussen $p$ en $q$ hebben we
$$
q = \frac12\sqrt{2}\left(p + \sqrt{p^2+2}\right)
$$
en
$$
p = \frac12\sqrt2\left(q - \frac1q\right).
$$

Voor $r$ en $\vec m$ geldt
$$
r = \sqrt{2p^2+2} = \frac1q\sqrt{q^4+1},
$$
$$
\vec m = \left(\matrix{0\cr 2\sqrt{p^2+2}\cr}\right) = \left(q +
\frac1q\right)\cdot\left[\matrix{1\cr 1\cr}\right]
$$

We willen graag dat de cirkel door het punt $T$ gaat met
$$
\vec t 
= \left[\matrix{c\cr c\cr}\right] 
= \left(\matrix{0\cr c\sqrt{2}\cr}\right).
$$

Dit geeft aanleiding tot de vergelijkingen
$$
\sqrt{2p^2+2} + 2\sqrt{p^2+1} = c\sqrt{2}
$$
en
$$
\frac1q\sqrt{q^4+1} + \sqrt{2}\left(q+\frac1q\right) = c\sqrt{2}.
$$

En deze vergelijkingen kunnen worden herschreven als
$$
p^4 -6(c^2-1)p^2 +(c^2-1)(c^2-9) = 0
$$
en
$$
q^4 - 4cq^3+2(c^2+2)q^2-4cq +1 = 0.
$$

De vergelijking voor $p$ kan eenvoudig worden opgelost
$$
p = \sqrt{3c^2-3 \pm 2c\sqrt{2(c^2-1)}}.
$$
en die voor $q$ (dankzij onze substitutie) dus ook
$$
q = \frac12\sqrt{2}\left(\sqrt{3c^2-3 \pm 2c\sqrt{2(c^2-1)}} + \sqrt{3c^2 -1
\pm2c\sqrt{2(c^2-1)}}\right).
$$
\bye
