\input a4
\nopagenumbers
\input pstricks
\input fp
\input vec2d
\def\frac#1#2{{#1 \over #2}}

\VDDdef A(0,0)B(4,.3)C(1,3)
\VDDdcanvas1:1
  \VDDdlpolygon ABC
\VDDdcanvasend

Gegeven zijn de punten $A(x_A, y_A)$, $B(x_B, y_B)$, $C(x_C, y_C)$ en $\Delta
ABC$. De bijbehorende vectoren zijn $\vec a$, $\vec b$, $\vec c$.

De lijn loodrecht op $AB$ door $C$ noemen we $k$ en de lijn loodrecht op $BC$
door $A$ noemen we $l$. De oorsprong is $O$. De vector van $O$ naar $A$ noemen
we $\vec{a}$.

Er geldt $\vec n_k = \vec b - \vec a$ en $\vec n_l = \vec{c} - \vec b$. We
duiden de plaatsvector aan met $\vec r$. Dan hebben we
$$
k: (\vec b - \vec a)\cdot \vec r = (\vec b - \vec a)\cdot \vec c
$$
en
$$
l: (\vec c - \vec b)\cdot \vec r = (\vec c - \vec b)\cdot \vec a.
$$

Uitgeschreven in componenten geeft dit
$$
(x_B - x_A)x + (y_B - y_A) y = (x_B - x_A)x_C + (y_B - y_A)y_C
$$
en
$$
(x_C - x_B)x + (y_C - y_B) y = (x_C - x_B)x_A + (y_C - y_B)y_A.
$$

Het snijpunt H van deze lijnen is het hoogtepunt van de driehoek. Dus
$$
x_H = \frac{( (x_B - x_A)x_C + (y_B - y_A)y_C)(y_C - y_B) - (y_B - y_A)((x_C -
x_B)x_A + (y_C - y_B)y_A)}{(x_B - x_A)(y_C - y_B)-(y_B - y_A)(x_C - x_B)}
$$
en
$$
y_H = \frac{( (x_B - x_A)x_C + (y_B - y_A)y_C)(x_C - x_B)-(x_B - x_A)( (x_C -
x_B)x_A + (y_C - y_B)y_A)}{(y_B - y_A)(x_C - x_B)-(x_B - x_A) (y_C - y_B)}.
$$

Dit kunnen we herschrijven als
$$
x_H = \frac{-\vec a\cdot(\vec b - \vec c) y_A - \vec b\cdot(\vec c - \vec a) y_B
- \vec c \cdot (\vec a - \vec b) y_C}{\vec a\times \vec b + \vec b \times \vec c
+ \vec c \times \vec a}
$$
en
$$
y_H = \frac{\vec a\cdot(\vec b - \vec c) x_A + \vec b\cdot(\vec c - \vec a) x_B
+ \vec c \cdot (\vec a - \vec b) x_C}{\vec a\times \vec b + \vec b \times \vec c
+ \vec c \times \vec a}.
$$

En dus ook in vectorvorm
$$
\vec h = \frac{\left(\vec a\cdot(\vec b - \vec c)\right) \vec a_R + \left(\vec
 b\cdot(\vec c - \vec a)\right) \vec b_R + \left(\vec c \cdot (\vec a - \vec
 b)\right) \vec c_R
}{\vec a\times \vec b + \vec b \times \vec c
+ \vec c \times \vec a}.
$$

\bye
